ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ И СЛОЖНОСТЬ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СТРУКТУР

        Материалы данной страницы являются гимном в честь бинома Ньютона, порождающего некоторые классы специальных многочленов и отражающих в себе полностью свойства "математической монады", отражающей все чудеса эволюции живой и неживой материи.
   

1. ОПИСАНИЕ ПРАВИЛ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ И СТРУКТУРНОЙ СЛОЖНОСТИ

            Правила описания отношений преемственности и структурной сложности могут быть заданы разными способами. Рассмотрим некоторые из этих способов.

 

1.1. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СТРУКТУР

            К задаче описания правил преемственности структурных многочленов можно подойти, используя метод производящих функций. Действительно, с учетом вложенности внутренних миров персонажей друг в друга, мы в любом случае будем иметь систему вложенных друг в друга оболочек и подоболочек иерархической системы, образованных операторами концептуализации. Из математики известно, что всякий раз, когда нам нужно получить информацию о последовательности чисел

                                     <an> = < a0, a1, a2, a3, ...>                                                 (1)

мы можем образовать бесконечную сумму по степеням параметра “х”

                                                  (2)

т. е. производящую функцию для числовой последовательности (1). Если эта последовательность определена интуитивно, т. е. если аn определяется по а1, а2, а3,..., то это дает важные преимущества при исследовании.        
           Многие поколения математиков в своих исследованиях использовали производящие функции. Важное значение при использовании производящих функций имеет вопрос о сходимости бесконечной суммы (2). Однако, с другой стороны, работая с производящими функциями, часто можно не беспокоиться о сходимости ряда, поскольку мы лишь исследуем возможные подходы к решению некоторой задачи. Когда мы найдем решение каким-либо способом, как бы не строг он ни был, можно всегда независимым способом убедиться в верности этого решения. Производящие функции очень широко используются в математике, т. к. являются мощным оружием при решении практических задач, связанных, например, с перечислением, распределением и разбиением множеств объектов различной природы.

    Отметим, что в некоторых разделах математики, например, в комбинаторике, переменная х никак не определена и считается просто абстрактным символом, роль которого сводится к тому, чтобы различать элементы числовых последовательностей. При этом различные преобразования таких последовательностей заменяются соответствующими операциями над производящими функциями. Действительно, в случае, если процессы осознания осуществляются с помощью одного и того же оператора осознания ω=1+х, то, например, структурный многочлен вида

                                                          Wn = ωn(W)= (1+x)n(W)

                                                       где п—число осознаний

будет порождать нужную нам последовательность коэффициентов

                                                     <an>= <a0, a1, a2, a3, ...>

            Таким образом, мы получили первое представление о тех алгоритмах, по которым Природа может производить осознание самой себя и осуществлять синтез новых, более сложных иерархических систем.

 

   1.2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ РЯДЫ

            Арифметический ряд порядка к – это последовательность значений многочлена степени        

           Р(х) = а0 + а1 х + а2 х2 + ... + ак хк                                          (6)

принимаемых им при последовательных целых, не отрицательных значениях переменных х (х=0,1,2,... ). Если составить ряд из разностей соседних членов арифметического ряда, затем для полученной последовательности разностей образовать их разности (вторые разности), для вторых разностей образовать третьи разности и т. д., то на к-м этапе окажется, что все к-ые разности равны между собой. Обратно, если для некоторой последовательности чисел ее к-ые разности равны между собой, т о эта последовательность есть арифметический ряд порядка к. Пользуясь этим свойством, можно строить арифметические ряды различных порядков, отправляясь от их разностей. Например, последовательность 1,1,1, ...  можно рассматривать как первые разности последовательности натуральных чисел N

   1,2,3,4, ...                                          ( 7)

как вторые разности последовательности треугольных чисел

    1,3,6,10,...                                           ( 8)

как третьи разности последовательности тетраэдрических чисел

      1,4,10,20,...                                           (9)

            Название этих чисел объясняется тем, что треугольные числа выражают число шаров, уложенных в виде треугольника, а тетраэдрические – в виде тетраэдра (пирамиды).

                         

                                                                   рис  1-1.

            Треугольные числа выражаются формулой

                                                       

а тетраэдрические - формулой

                                                  

            Обобщением треугольных чисел являются к-угольные, или фигурные числа, имеющие вид

                                              

            при к =3 получаются треугольные числа,

            при к=4 – квадратные числа,

            при к= 5 – пентагональные числа, и т. д.

            Название этих чисел выражают число шаров, расположенных в виде квадрата или пятиугольника.

            Однако арифметический треугольник можно представить и в более общем виде

Р(х) = (1-х)-n                                                                                                

            При n=1 мы получим последовательность единиц 1, 1, 1, ... ,
            при n=2 получим последовательность натуральных чисел,
           при n=3 - последовательность треугольных чисел (3),
            при n=4 – последовательность тетраэдрических чисел и т. д.
 
        Рассматривая выражение Р(х) = (1-х)-n  как бином Ньютона с отрицательным показателем  – n, формально записываем, без вывода тождества, в силу его тривиальности
                                  

              Отметим, что с помощью соотношения

                                                               (10)

можно построить обобщенный арифметический треугольник.
    Треугольник Паскаля можно получить и с помощью рекуррентной формулы

                                                          (11)

            Тогда смысл формулы (10) заключается в том, что при разложении ряда (10) по степеням х коэффициенты при хr выражают число способов получить сумму r, складывая n слагаемых, каждое из которых равно одному из чисел (11). Вообще (r+1) – e  число в (n+1) - й строке равно   - числу кортежей длины n с суммой координат r.

             При m=2 получается таблица биномиальных коэффициентов

                                                                                       

            При m=3 – таблица триномиальных коэффициентов

                                             

и т. д. В обобщенном арифметическом треугольнике его элементы при m=2к (четное) располагаются так, что числа предшествующей строки находятся над промежутками между числами следующей строки. При этом каждое число равно сумме к чисел предыдущей строки, находящейся слева от него, и к чисел, находящихся справа. Если же m=2к+1 (нечетное), то числа пишутся друг над другом, а каждое число равно сумме находящихся над ним к чисел, расположенных в предыдущей строке слева от него, и к чисел, расположенных в той же строке справа от него. В обеих случаях сумма располагается симметрично относительно слагаемых, а строки m- треугольника образуют правильные симметрические ряды.

            Следует отметить, что  если слева или справа от искомого числа в предыдущей строке меньше чисел, чем нужно для образования суммы, то недостающие слагаемые полагаются равными нулю. Данные последовательности арифметических рядов имеют много замечательных особенностей. Главная из этих особенностей заключается в том, что все числа этих рядов являются биномиальными коэффициентами и, кроме того, процесс получения арифметических рядов по сути дела является операцией разворачивания ряда, образованного разностями исходной числовой последовательности  1, 1, 1, 1,... …

                     

 1.3. БИНОМИАЛЬНЫЕ РЯДЫ

  Правила задания структурной сложности между элементами иерархических систем и подсистем могут быть заданы методами перебора различных возможных значений, т. е. числом сочетаний из m элементов по n, которое обозначается через

                                                                              ( 3)

Величину называют биномиальными коэффициентами.

            Соотношения (3) можно использовать для определения  биномиальных коэффициентов даже в том случае, если  n не является целым числом (но для целых m). В качестве частных случаев справедливы

                                                             

             Существуют буквально тысячи тождеств, включающих в себя биномиальные коэффициенты. Таких соотношений настолько много, что каждое новое тождество уже никого не волнует, разве что самого автора. Все это говорит об их чрезвычайно широкой области применения. Из всех свойств биномиальных коэффициентов наиболее важное значение имеет биномиальная теорема

                                                                                        ( 4)

где k=0,r,   где r - целое число.

            В соотношении (4) на индекс к не наложено никаких ограничений, т. к. при к<r соответствующие члены равны нулю. Биномиальная теорема утверждает, что соотношение (4) справедливо для всех r, если

                                                                        

       Частный случай, когда у=1 имеет большое значение, поэтому отметим его специально

                                                                                    (5)

            Полагая r =0,1,2, ...  мы получим последовательность биномиальных рядов, которая носит специальное название–треугольник Паскаля. Наиболее важное свойство биномиальных коэффициентов заключается в их удивительной симметричности. Действительно, записывая треугольник Паскаля в виде символической и числовой матрицы, мы будем иметь  матрицу ( 6).

             Из матриц видно, что их элементы относительно главной диагонали образуют симметрические ряды - арифметический треугольник.
Складывая коэффициенты этих симметричных рядов, мы получим свертку арифметического ряда
                                                             1,2,4,8,16,32,....
        Этот ряд в Русской матрице называют биоспиралью (Русская матрица).
Фундаментальный характер биномиальных коэффициентов, их повсеместное применение в различных разделах математики и других приложениях ни у кого не вызывает сомнения. Можно уверенно сказать, что между биномом Ньютона (и биномиальными коэффициентами) и законами симметрии существует тесная связь, что бином Ньютона и биномиальные коэффициенты отражают в себе самые фундаментальные свойства Единого закона -механизм функционирования этого закона.
 

2. КЛАССЫ ПРОИЗВОДЯЩИХ СТРУКТУР

     Ниже, с учетом основных закономерностей иерархических систем, будут построены некоторые “базисные” классы производящих функций.

    Нам необходимо создать такие классы производящих функций, которые бы учитывали основные закономерности иерархических систем, их ограниченность, замкнутость и двойственность. Рассмотрим в первую очередь класс производящих функций, в основе которого будут биномиальные ряды. Именно биномиальные ряды учитывают в явном виде двойственность структур.
Вначале покажем, что  для любого двучлена вида (у+x)r  мы получим следующую базисную производящую функцию
       
Следовательно, любой двучлен можно представить в виде произведения базисной производящей функции вида
(1±х)r  на "мировую константу" (квант), порождающего собственную производящую функцию, отличную от базисной.
 И если эта мировая константа выражается через биномиальные коэффициенты, то мы можем говорить о возможности инвариантных преобразований одного собственного подкласса производящих функций бинома Ньютона в другой, взаимодополнительный подкласс.
 
 2.1. ВЕСЫ БИНОМИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Известно, что бином Ньютона, с положительными степенями, порождает функции вида
 
                                                         P1(x)=(1-x)+1=1+х;
                                                         P2(x)=(1-x)+2=1-2х+х2;
                                                                    ........
Коэффициенты этих  биномиальных многочленов порождают треугольник Паскаля (арифметические ряды).
                                      
                                                                                             рис  2-1
Данный треугольник  можно легко  превратить в красивый  фрактальный узор, если заменить четные коэффициенты нулями, а  нечетные -единицами.
                                 
                                                                                             рис  2-2
Этот фрактальный узор повторяется на каждом уровне иерархии. И это тоже не случайность. Это называется - по образу и подобию!
К сожалению, я не могу сослаться на первоисточник данного рисунка. И если кто-либо мне его подскажет, буду благодарен.
         Но базисная производящая функция  Рn(x)=(1-x)+n имеет и взаимодополнительные функции.
                         
                                                                          рис  2-3
 При этом в основе единства "прерывности" и "непрерывности" четырех производящих функций арифметического ряда лежат инвариантные преобразования.
 Эти "весы" отражают законы сохранения арифметического ряда, законы его симметрии, законы взаимодополнительности,  единство "дискретного" и "непрерывного".   Можно сказать, что арифметический треугольник уже изначально содержит в себе Замысел  двойственности Мироздания.
На уровне макромира двойственность проявляется в корпускулярно-волновом единстве "частицы" и волны".
                                                         
 На уровне макромира эта двойственность  проявляется в структурно-функциональном  единстве систем любой природы.
                                                       
На уровне мегамира оно проявляется в двойственности материи.
                                                       
 Но подобная двойственность арифметического ряда, порождаемого биномиальными коэффициентами, каждый из которых несет в себе изначальную двойственность (каждый биномиальный коэффициент есть сумма двух коэффициентов), отражается во всех производящих функциях, связанных с данным классом производящих функций.
Природа строго следит за соблюдением рассмотренных выше принципов формирования двойственных отношений, которые характеризуются собственными законами сохранения.
                                                       
                                                                               
                                                                                         рис. 2-4
  Вот те монадные весы, которые позволяют "по образу и подобию" производить самонормирование сформированных "перекладин креста" и строить из них новые кресты, обеспечивая инвариантность перехода с одной перекладины креста на другую.
Здесь произведение сомножителей в числители и знаменателе отражает длину соответствующего монадного рычага, а их отношение и представляет  закон сохранения  "самосогласованного поля монадных весов"
    Правила перехода от одной перекладины к другой определяются триадами - перемножаются между собой два элемента одном плече коромысла и делятся на первый элемент, стоящий во втором плече рычажного коромысла, в зависимости от принятых правил обхода по кресту (правила крещения), т.е. правила крещения порождают триединство. Может быть именно это триединство и отражается в ритуалах православной церкви. Крещение осуществляется щепотью, сложенной из трех пальцев. Причем  даже здесь присутствует символика. Присутствие большого пальца руки как бы символизирует, что значения двух  пальцев нужно перемножить и разделить на значение большого пальца.
      Законы сохранения двойственного отношения, отражаемые в "монадных весах" являются фундаментом всех законов сохранения, существующих в Природе, во всех ее структурах, во всех ее множественных мирах, проявляясь в "иных измерениях" в разных формах.
Приведенная выше производящая функция является двойственной.
             
                                                                    рис  2-5
Эта двойственность формирует арифметический треугольник двумя разными способами. В первом случае каждый биномиальный ряд  является  конечным. Этот способ формирует арифметический треугольник по строкам. При втором способе арифметический треугольник формирует по диагоналям. Каждый биномиальный ряд при этом является непрерывным (бесконечным).
Эта "дискретность" и непрерывность" производящих функций проявляется и в другой форме бинома Ньютона.
           
                                                                         рис.  2-6-6
 И снова мы видим единство "прерывного" и "непрерывного".
страницы  1 2 3 4
> >>  require_once($_SERVER['DOCUMENT_ROOT']."/mediapublic/advert.php"); >>          echo GetAdvert(); > > ?>>